ГЛАВА XII О КОЛИЧЕСТВЕ

1. О сущности размерности (dimensio) и ее разнообразных видах было сказано выше в главе VIII. Согласно сказанному там, существуют три вида размерности: линия (или длина), плоскость и плотность. Каждый из этих видов в отдельности, если он определен, т. е. если ясно намечены его границы, называется обычно количеством. Под количеством мы понимаем все то, что является ответом на вопрос сколько? На вопрос, как долог путь, не отвечают неопределенно – длина; на вопрос, как велика пашня,- площадь; наконец, на вопрос, как велика масса,- плотное. На эти вопросы отвечают или вполне определенно – путь Длиной 100 000 шагов, пашня в 100 югеров, масса объемом 100 кубических футов, или по крайней мере так, что величина соответствующей вещи может быть представлена в известных границах. Следовательно, количество нельзя определить иначе как известным размером, или размером, границы которого известны по их месту либо благодаря сравнению.

Количество определяют двояким образом. Во-первых, посредством чувств, если нам демонстрируется какой-нибудь чувственный объект, например линия, плоскость или толщина фута или локтя, запечатленные в какой-нибудь материи. Такого рода определение называется непосредственным созерцанием, а познаваемое таким образом количество – наглядно представленным. Во-вторых, количество определяется при помощи памяти путем сравнения с наглядно данным количеством. Руководствуясь первым способом определения количества, на вопрос: как велика какая-нибудь вещь? – мы отвечаем: она так велика, как ты это видишь глазами. Руководствуясь вторым способом, на этот вопрос можно ответить только при помощи сравнения с наглядно данной мерой. На вопрос: как велика длина пути? – ответ или гласит: столько-то тысяч шагов,- если мы при этом сравниваем путь с шагом или с какой-нибудь другой чувственной мерой, или указывает, что соответствующее количество относится к какой-нибудь данной мере так, как диагональ квадрата к его стороне, и т. д.

Важно, однако, чтобы наглядная мера оставалась постоянной, будучи либо материальной, либо доступной чувственной оценке, ибо иначе невозможно было бы сравнивать что-нибудь с этой мерой. Но так как именно сравнение какой-нибудь величины с другой, согласно выводам предыдущей главы, мы называем отношением, то очевидно, что установленное посредством второго способа количество есть не что иное, как отношение между не данным наглядно протяжением и наглядно данной мерой, т. е. равенство или неравенство указанного протяжения с указанной наглядно данной мерой.

Линию, плоскость и объем обозначают, во-первых, посредством движения в соответствии с тем, как мы описали возникновение этих геометрических элементов в главе VIII; однако это следует делать так, чтобы сохранились следы этого движения. Они должны быть или нанесены на какую-нибудь материю таким образом, как, например, наносят линию на бумагу, или же врезаны в какую-нибудь материю с большей прочностью. Эти элементы могут, во-вторых, быть обозначены путем прибавления: так, линия может быть прибавлена к линии, плоскость – к плоскости, объем – к объему. Это значит, что линию описывают посредством точек, плоскость – посредством линий, объем – посредством плоскостей. При этом, однако, под точками здесь следует понимать очень короткие линии, а под плоскостями – лишь очень тонкие тела. В-третьих, линии и плоскости можно получить с помощью разрезов, линии – разрезая наглядно представленные плоскости, плоскости – разрезая наглядно представленные тела.

Время обозначают не в виде одной лишь простой линии: для его обозначения требуется еще нечто равно мерно движущееся по этой фактической или по предполагаемой линии. Ибо время есть образ движения, поскольку мы представляем себе в последнем раньше и позже, или последовательность. Поэтому для обозначения времени недостаточно лишь описать линию: мы должны одновременно мыслить предмет, движущийся по этой линии, и притом движущийся равномерно, так, чтобы мы в зависимости от потребности могли делить и соединять время.

Если философы в ходе своих доказательств чертят линию и утверждают, что эта линия должна означать время, то это равнозначно утверждению: понятие равномерного движения по этой линии должно означать время. Так, окружности циферблатов, хотя они и представляют собой линии, недостаточны для определения времени: для этого требуется еще движение чего-нибудь, например тени или стрелки.

Числа обозначают или при помощи точек, или при помощи названия чисел (один, два, три и т. д.). Точки, однако, не должны при этом соприкасаться, и поэтому их следует отделить друг от друга знаками. Они должны быть расставлены таким образом, чтобы их можно было отличить друг от друга. Этим и объясняется то обстоятельство, что число называется прерывным количеством (quantitas discreta), между тем как всякое количество, которое характеризуется движением, именуется непрерывным. При обозначении чисел посредством названий или цифр необходимо закрепить их в памяти в твердом порядке как ряд: один, два, три и т. д. Простое повторение единицы с прибавлением еще одной единицы скоро привело бы нас к тому, что мы не знали бы, какое число перед нами. Мы не пошли бы дальше трех, причем и число три представлялось бы нам не как число, а как фигура.

Для обозначения скорости (которая, согласно определению, есть движение, совершаемое движущимся телом в определенном пространстве за определенный промежуток времени) требуется обозначить три вещи: время, пространство, пройденное движущимся телом, скорость, которую мы хотим обозначить, а также само движущееся в этом пространстве тело. Нужно провести две линии. Одна линия служит для того, чтобы обозначить время, поскольку мы представляем себе, что вдоль нее совершается равномерное движение, необходимое для определения времени; другая линия изображает скорость. Если, например, нам нужно сделать наглядной скорость движущегося тела А, то мы проводим две линии (АВ и CD)

и помещаем в точку С какое-либо тело. Скорость движения тела А будет определяться тогда тем, что оно проходит расстояние АВ в тот же промежуток времени, в который тело С пройдет расстояние CD в равномерном движении.

Вес мы обозначаем с помощью любого тяжелого тела, состоящего из любой материи, лишь бы это тело всегда имело эту или иную тяжесть.

Об отношениях величин получают представление одновременно с самими этими величинами. Отношение неравенства мы обозначаем тогда, когда нам даны неравномерные величины, отношение равенства – когда нам даны величины равные.

Так как отношение неравных величин, согласно определению, данному в пункте 5 главы XI, состоит в отношении их разницы к одной из этих величин и так как, далее, вместе с обозначением неравных величин дается и их разница, то отсюда следует, что обозначение величин, находящихся в пропорциональном отношении, одновременно наглядно представляет нам и само это отношение. Подобным же образом и отношение разных величин (состоящее в том, что между величинами нет никакой разницы) дается одновременно с обозначением этих величин.

Если, например, даны равные линии АВ и CD,

то существующее между ними отношение равенства непосредственно доступно созерцанию. Если же линии EF и EG неравны, то этим дано как отношение EF к EG, так и отношение EG к EF, так как разница обеих изображенных линиями величин выражена линией GF. Отношение неравных величин есть количество, так как оно выражается разницей GF, которая есть количество. Отношение же равенства не есть количество, так как между величинами нет разницы, а из равенств одно не может быть больше другого (что бывает при неравенствах).

9. Отношение двух промежутков времени или скоростей двух равномерных движений обозначают двумя линиями, вдоль которых, как мы себе представляем, равномерно движутся два тела. В зависимости от того, принимаем ли мы обе эти линии за изображения величин, времен или скоростей, они будут представлять или отношение друг к другу, или отношение времен, или отношение скоростей. Так, пусть линии А и В

прежде всего наглядно представляют отношение друг к другу. Если же затем мы представим себе, что вдоль этих линий равномерно с равной скоростью движутся тела, и если связанные с движением этих тел промежутки времени будут относиться друг к другу как большие, меньшие или равные в соответствии с пройденным в это большее, меньшее или равное время путем, то линии А и В будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение этих промежутков времени. Если, наконец, мы предположим, что линии А и В пройдены в один и тот же промежуток времени, то они будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение, скоростей, ибо скорости бывают большими, меньшими или равными в зависимости от того, проходят ли движущиеся тела в одинаковое время большие, меньшие или равные отрезки пространства.